Когда мы работаем с тригонометрическими функциями, иногда может возникнуть необходимость разложить sin2x и cos2x на множители. Это полезное умение, которое пригодится для упрощения сложных выражений. Процесс разложения sin2x и cos2x на множители несложен, если знать определенные формулы и правила. В данной статье я предложу пошаговое объяснение и примеры, чтобы вы могли легко разобраться в этом вопросе. Начнем!
Разложение sin2x
Разложение sin2x на множители имеет следующий вид:
sin2x = 2sinx*cosx
Давайте разберемся, откуда взялось это выражение. Сначала вспомним формулу двойного аргумента для синуса:
sin2x = 2sinx*cosx
Эта формула основана на применении формулы синуса разности:
sin(A — B) = sinA*cosB — cosA*sinB
Здесь мы можем считать, что A и B равны x, поэтому получаем:
sin(x — x) = sinx*cosx — cosx*sinx
sin(0) = sinx*cosx — cosx*sinx
0 = sinx*cosx — cosx*sinx
Заметим, что первое слагаемое sinx*cosx и второе слагаемое -cosx*sinx равны друг другу, но имеют разные знаки. Поэтому их можно сложить и получить:
sinx*cosx — cosx*sinx = 0
Теперь выражение сводится к равенству 0. Это и дает нам разложение sin2x на множители:
sin2x = 2sinx*cosx
Таким образом, мы получили выражение для разложения sin2x на множители.
Пример разложения sin2x
Формула двойного угла для синуса гласит:
sin2x = 2sinx*cosx
Теперь давайте рассмотрим конкретный пример разложения sin2x:
Пример:
Разложим sin2x.
Используя формулу двойного угла, мы можем записать:
sin2x = 2sinx*cosx
Таким образом, sin2x можно разложить на множители: 2sinx*cosx.
Вот и все! Теперь мы знаем, как разложить sin2x на множители, и в данном примере получили результат в виде 2sinx*cosx.
Разложение cos2x на множители: пошаговое объяснение и примеры
Давайте разберемся, как разложить cos2x на множители. Для этого нам понадобится знание о свойствах тригонометрических функций и некоторые алгебраические манипуляции.
Итак, у нас есть выражение cos2x. Что мы можем с ним сделать? Давайте вспомним формулу двойного аргумента:
cos(2x) = cos^2(x) — sin^2(x)
Эта формула позволяет нам получить разложение cos2x на множители. Но прежде чем продолжить, давайте вспомним еще одно свойство тригонометрических функций:
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Теперь мы готовы приступить к разложению. Воспользуемся формулой двойного аргумента:
cos(2x) = cos^2(x) — sin^2(x)
Теперь заменим sin^2(x) в этой формуле с использованием свойства, которое мы только что вспомнили:
cos(2x) = cos^2(x) — (1 — cos^2(x))
Раскроем скобки и упростим выражение:
cos(2x) = cos^2(x) — 1 + cos^2(x)
cos(2x) = 2cos^2(x) — 1
Таким образом, мы получаем разложение cos2x на множители:
cos(2x) = 2cos^2(x) — 1
Теперь давайте рассмотрим пример, чтобы убедиться, что мы правильно разложили cos2x:
Пусть x = π/4. Подставим это значение в наше разложение:
cos(2(π/4)) = 2cos^2(π/4) — 1
cos(π/2) = 2(1/2)^2 — 1
cos(π/2) = 1/2 — 1
cos(π/2) = -1/2
Если мы проверим это значение с помощью калькулятора или таблицы значений тригонометрических функций, мы увидим, что cos(π/2) действительно равен -1/2.
Таким образом, мы успешно разложили cos2x на множители.
Пример разложения cos2x
Для разложения функции cos2x на множители, мы можем воспользоваться формулой суммы и разности косинусов:
cos2x = cos^2(x) — sin^2(x)
Далее, мы можем разложить выражения cos^2(x) и sin^2(x) с помощью формулы двойного угла:
- cos^2(x) = (cos(2x) + 1) / 2
- sin^2(x) = (1 — cos(2x)) / 2
Подставив эти значения в исходную формулу, получим:
- cos2x = (cos(2x) + 1) / 2 — (1 — cos(2x)) / 2
- cos2x = cos(2x) / 2 + 1 / 2 — 1 / 2 + cos(2x) / 2
- cos2x = 2cos(2x) / 2
- cos2x = cos(2x)
Таким образом, функцию cos2x можно разложить на множители и представить в виде cos2x = cos(2x).
